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Was bedeutet das Gleichheitszeichen? Was ist ein Beweis? Auf solche grundlegenden Fragen geht Wolfgang Helbigs Einführung ein, die über die reellen und komplexen Zahlen hinaus auch natürliche, ganze und rationale Zahlen behandelt. Diese Zahlen werden durch Axiome definiert, die lückenlose Beweise in der Analysis, Zahlentheorie und Kombinatorik ermöglichen. Die Widerspruchsfreiheit der Axiome wird durch mengentheoretische Konstruktionen nachgewiesen, wobei nur die Existenz einer Peano-Struktur vorausgesetzt wird. Eigenschaften stetiger Funktionen, konvergenter Folgen und Reihen sowie zusammenhängender und kompakter Mengen werden aus den Axiomen des metrischen Raums abgeleitet. Die axiomatische Methode wird auf Zahlenbereiche und Funktionenräume angewandt, um Potenzen mit reellen und komplexen Exponenten zu studieren. Alle Sätze und Formeln, vom Prinzip der rekursiven Definition bis zum Satz von Heine-Borel, werden aus den Axiomen abgeleitet. Helbig legt großen Wert auf die Leserfreundlichkeit der Beweise, sodass Leser die Schlüssigkeit der Argumentation selbst beurteilen können. Auch mathematisch Fortgeschrittene profitieren von der Lektüre, da sie die Herleitung zahlreicher vertrauter Sätze finden, die sie zuvor ohne kritische Auseinandersetzung verwendet haben, etwa zu Eigenschaften endlicher Mengen oder den Rechengesetzen endlicher Summen.
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Analysis 0, Wolfgang Helbig
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- 2011
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