Focusing on Lie groups and their actions on manifolds, this book offers a thorough exploration of fundamental principles with practical applications. It is designed to be accessible for mathematicians and graduate students, making complex concepts easier to grasp. Additionally, the text includes appendices that cover essential theories and multilinear algebra, enriching the reader's understanding of the subject matter.
From Linear Algebra over Rings to Geometry with Sheaves
Designed for second-year undergraduate mathematics students, this textbook emphasizes the connections between various mathematical fields. It encourages appreciation for specialized courses by focusing on the concept of mathematical structures, which are crucial across different areas of mathematics. The text aims to highlight similarities among disciplines, fostering a deeper understanding of the subject as a whole.
The aim of the Expositions is to present new and important developments in pure and applied mathematics. Well established in the community over more than two decades, the series offers a large library of mathematical works, including several important classics. The volumes supply thorough and detailed expositions of the methods and ideas essential to the topics in question. In addition, they convey their relationships to other parts of mathematics. The series is addressed to advanced readers interested in a thorough study of the subject. Editorial Board Lev Birbrair, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, BrasilWalter D. Neumann, Columbia University, New York, USAMarkus J. Pflaum, University of Colorado, Boulder, USADierk Schleicher, Jacobs University, Bremen, GermanyKatrin Wendland, University of Freiburg, Germany Honorary Editor Victor P. Maslov, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia Titles in planning include Yuri A. Bahturin, Identical Relations in Lie Algebras (2019)Yakov G. Berkovich, Lev G. Kazarin, and Emmanuel M. Zhmud', Characters of Finite Groups, Volume 2 (2019)Jorge Herbert Soares de Lira, Variational Problems for Hypersurfaces in Riemannian Manifolds (2019)Volker Mayer, Mariusz Urbański, and Anna Zdunik, Random and Conformal Dynamical Systems (2021)Ioannis Diamantis, Boštjan Gabrovšek, Sofia Lambropoulou, and Maciej Mroczkowski, Knot Theory of Lens Spaces (2021)
Ein Ratgeber für Erstsemester und solche, die es vielleicht werden wollen
In diesem Ratgeber finden Sie Informationen, die Ihnen bei der Beantwortung der Frage helfen können, ob Sie Mathematik studieren sollen, und wenn ja, an welcher Universität und mit welcher Schwerpunktsetzung. Im Mittelpunkt steht eine realistische und konkrete Beschreibung des Studienablaufs und der gestellten Anforderungen. Die Beschreibung der einzelnen Studienelemente wird durch konstruktive Ratschläge zur Bewältigung der jeweiligen Aufgaben und der verfügbaren Unterstützungsangebote ergänzt. Zur leichteren Orientierung gibt es im letzten Kapitel noch einen groben Überblick über die mathematischen Themenfelder, die in einem Mathematikstudium behandelt werden.
Von der linearen Algebra über Ringen zur Geometrie mit Garben
Dieses Buch richtet sich an Studierende der Mathematik, die die Anfängervorlesungen in Analysis und Linearer Algebra gemeistert haben. Es ist gedacht als Orientierungshilfe für die Vielzahl an spezialisierten Fachveranstaltungen in den mittleren und höheren Semestern. Ein wichtiges Anliegen ist die Darstellung von Vergleichsmöglichkeiten und Ähnlichkeiten zwischen mathematischen Disziplinen. Das organisierende Prinzip ist der Begriff der mathematischen Struktur, der sich durch alle Teilgebiete der Mathematik zieht. Die Inhalte, an denen die verschiedenen Typen von Strukturen exemplarisch erläutert werden, decken curriculare Anforderungen insbesondere aus der Algebra und der Geometrie (differentiell und algebraisch) ab. Die Diskussion von Vergleichsmöglichkeiten enthält aber auch Einführungen in die Kategorientheorie und die Garbentheorie, deren Bedeutung in der modernen Mathematik eine stärkere Verankerung in den Curricula nahelegt. Das Buch eignet sich insbesondere auch zum Nachschlagen der dargestellten Strukturen.
Sie studieren Mathematik im ersten oder zweiten Semester? Das Verstehen der Vorlesungen und das Lösen der Übungsaufgaben fällt Ihnen nicht unbedingt leicht? Sie wissen nicht genau, ob Sie fit für die Prüfung sind? Dann kann Ihnen dieses Arbeitsbuch rund um grundlegende Inhalte und Studiertechniken im Mathematikstudium helfen. Die Autoren greifen tief in die Know-How-Kiste und zeigen, wie Mathematik erfolgreich studiert werden kann. Basierend auf authentischen Verständnisproblemen von Studierenden erhalten Sie mit diesem Buch ein reichhaltiges Angebot an Materialien zu ausgewählten Themengebieten. Neben erprobten Texten, umfangreichen Beispielen sowie zahlreichen Übungsaufgaben und Kontrollfragen (allesamt mit Lösungen) finden Sie konkrete Hinweise und Konzepte zum Lesen mathematischer Texte, zum Verfassen dieser und zum Überprüfen des eigenen Lernstandes. Aus dem Inhalt: Restklassen Äquivalenzrelationen Beweistechniken Gruppen Ringe, Körpervon den natürlichen zu den reellen Zahlen
Beweise und Lösungen zum Lesebuch
In diesem Arbeitsbuch zum Lesebuch Mathematik für das erste Studienjahr finden sich Übungsaufgaben und ergänzende Beispiele zu den vorgestellten Themenbereichen. Viele der angebotenen Aufgaben sind Standardproblemstellungen in den Übungen des ersten Studienjahrs. Das Arbeitsbuch kann daher parallel und ergänzend zu den Übungen im Vorlesungsbetrieb verwendet werden. Es bietet zu allen Aufgaben vollständige Lösungsvorschläge. Für interessierte Leser sind die im Lesebuch nicht vollständig ausgeführten Beweise nachgetragen. Dadurch wird eine lückenlose Darstellung des präsentierten Materials gewährleistet. Darüber hinaus enthält das Buch eine Vielzahl ergänzender Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungsvorschlägen. Um die Bearbeitung des Arbeitsbuchs im Selbststudium zu erleichtern, sind die Lösungsvorschläge für die Übungen jeweils in einem separaten Abschnitt gesammelt.
Dieses Buch ist eine Begleitlektüre zum ersten Jahr des Mathematikstudiums und darüber hinaus. Im Mittelpunkt stehen Motivation und Erläuterung der zentralen Begriffsbildungen anhand von Beispielen und exemplarischen Resultaten. Ausgehend von den elementarsten und historisch frühesten mathematischen Konzepten des Messens und Zählens werden Sie zu modernen Begriffen wie Metriken, Maßen und Vektorräumen geführt, die dann zur Lösung konkreter Probleme einsetzt werden. Die Stoffauswahl ist so angelegt, dass die Querverbindungen zwischen den unterschiedlichen Anfängervorlesungen, die im regulären Studienbetrieb oft eher ausgeblendet werden, deutlich hervortreten. Das Buch richtet sich an Leser, die mit der elementaren Mengenlehre als Sprache zur Beschreibung von mathematischen Inhalten sowie mit den reellen Zahlen als mathematischem Konzept vertraut sind. Das entspricht etwa dem Kenntnisstand, der von Studierenden der Mathematik nach etwa einen Monat Studium erwartet wird.
InhaltsverzeichnisI Lie-Gruppen.§I.1 Die allgemeine lineare Gruppe.§I.2 Die Exponentialfunktion.§I.3 Abgeschlossene Untergruppen von Gl(n, IK).§I.4 Die Campbell-Hausdorff-Formel.§I.5 Analytische Untergruppen.§I.6 Bogenzusammenhängende Gruppen.§I.7 Homomorphismen.§I.8 Fundamentalgruppen und Überlagerungen.§I.9 Einfach zusammenhängende Überlagerungsgruppen.II Lie-Algebren.§II.1 Definitionen und Beispiele.§II.2 Nilpotente und auflösbare Lie-Algebren.§II.3 Halbeinfache Lie-Algebren.§II.4 Erweiterungen und Moduln.§II.5 Lie-Algebra-Kohomologie.§II.6 Einhüllende Algebren.§II.7 Der Satz von Ado.III Strukturtheorie von Lie-Gruppen.§III.1 Analytische Mannigfaltigkeiten.§III.2 Die Lie-Algebra und die Exponentialfunktion.§III.3 Anwendungen der Exponentialfunktion.§III.4 Das Haarsche Maß.§III.5 Lie-Gruppen mit kompakter Lie-Algebra.§III.6 Halbeinfache Lie-Gruppen.§III.7 Maximal kompakte Untergruppen, das Zentrum und Mannigfaltigkeitsfaktoren.§III.8 Dichte analytische Untergruppen.§III.9 Komplexe Lie-Gruppen.§III.10 Charakterisierung der linearen Lie-Gruppen.§III.11 Anwendung der Theorie auf die Klassischen Gruppen.Anhang: Topologische Grundlagen.Lehrbücher über Lie-Gruppen und Algebren.Symbolverzeichnis.